平行四边形的识别的进一步探索

平行四边形的识别的进一步探索

长沙市芙蓉区马王堆中学   曾志明

我们知道，两组对边分别平行，或者一组对边平行且相等，或者两组对边分别相等，或者两组对角分别相等，或者对角线互相平分的四边形是平行四边形。那么，一组对边相等，一组对角相等的四边形是不是平行四边形呢？下面，我们就此进行探索。

以下，我们总设在四边形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC。

1．  若∠A=∠C=Rt∠                                             

                                                                  

1

2

连结BD                                            A                    D

在Rt△ABD和Rt△CDB中    

   BD=DB

   AD=BC

∴Rt△ABD≌Rt△CDB  (HL)                        

∴∠1=∠2                                          B                    C

∴AD∥BC

而 已知AD=BC

∴四边形ABCD是平行四边形。

2．  若∠A=∠C﹥Rt∠

连结BD，分别过D、B向AB、CD作垂线DE、BF；E、F为垂足

∵∠1=∠2                                                E

1

2

3

4

5

6

7

8

∴∠3=∠4

而 DE⊥BE、BF⊥DF

∴∠E=∠F=Rt∠                                     A                     D

又 AD=BC                    

∴△ADE≌△CBF     （AAS）                        

∴DE=BF                                           5

在Rt△BDE和Rt△DBF中                       B                     C

   DE=BF

   BD=DB

∴Rt△BDE≌Rt△DBF  （HL）                                    F

∴∠5=∠6

由三角形内角和定理。得

  ∠7=∠8

∴AD∥BC

而 已知AD=BC

∴四边形ABCD是平行四边形

3．  若∠A=∠C﹤Rt∠

先作等腰△DAG，使DA=DG。作DH⊥AG，H为垂足，在AH上取点B（不与A、H重合）。使BG﹤DG连结DB，并作DB的中垂线EF

 

 

 

 

 

∵BG﹤DG

∴点G不在EF上

作点G关于EF的对称点C，连结BC，DC。

（1）∵△CDB与△GBD关于EF对称

∴∠G=∠C     DG=BC

而∠A=∠G     DA=DG                             D

∴∠A=∠C，DA=BC

另外BG﹤DG

∴∠GDB﹤∠GBD                                                   C

∴∠ABC=∠ABD+∠DBC                        E               

=∠ABD+∠GDB                                               

﹤∠ABD+∠GBD                                               F    

=180°                     A            

即∠ABC﹤180°                               B   H             G

故四边形ABCD是满足条件的四边形

即一组对角相等（∠A=∠C ）

一组对边相等（ DA=BC ）

（2）∵B在AH上，且不与A、H重合

     ∴AB﹤BG

     而BG=DC

     ∴AB﹤DC

    故四边形ABCD不是平行四边形。

综上所述，一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形

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